<F+>
<T+1>
<mat. 5 s. cap. 3>
<68>
3. Geometria do espao

As formas ao alcance de nossos olhos

  Vivemos num mundo de formas e imagens.
  Elas esto presentes na natureza...
 ... nas artes ...
 ... na arquitetura das cidades...
 ... e nas coisas de nosso cotidiano.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: estrelas do mar, pr-  o
  dios e uma figura feita de      o
  origami.                        o
eieieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  Lygia Clark, Bicho, Caranguejo Duplo, 1961. Pinacoteca do Estado, 
SP.

  O estudo das formas  um dos mais importantes ramos da Matemtica, 
a _Geometria.
<P>
  Documentos histricos mostram que as questes geomtricas estavam 
inicialmente associadas a problemas relativos  medida da Terra, como o 
prprio nome indica.

<F->
!::::::::::::::::::::.
l  Geo :o Terra    _
l  metria :o medida  _
h::::::::::::::::::::j
<F+>

<69>
  Porm, atualmente, o estudo da Geometria vai alm de questes sobre 
medidas.

  Professor fala:
  -- Explorando imagens e objetos do dia-a-dia, pode-se aprender a ler e 
explorar a Geometria das coisas ao nosso redor.  o que faremos daqui por 
diante.
  Aluno fala:
  -- Hummm... lembra um retngulo.
<P>
Observando o mundo

  Para identificar os elementos do espao, basta um simples olhar  
nossa volta.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: prdio da assemblia   o
  em Braslia.                   o
eieieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  _Retas _paralelas no tm ponto em comum.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
  Foto: cabana de pedra.  o
eieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  _Retas _secantes so as que se cruzam em um ponto.

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<70>
  A impresso causada pela primeira fotografia  a de que as duas retas 
indicadas, se prolongadas, no se encontraro. Esta  uma das principais 
caractersticas do paralelismo entre retas que esto no mesmo plano.
  Indicamos duas retas paralelas _r e _s da seguinte maneira: r_ls.
  Observe agora as linhas secantes destacadas na foto 3. Elas fazem um 
_ngulo _reto.

Professor fala:
  -- O ngulo reto  a quarta parte de uma volta completa.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Foto: trs folhas de    o
  papel dobradas de jeitos   o
  diferentes.                o
eieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Quando duas retas se cortam formando um ngulo reto dizemos que 
elas so _retas _perpendiculares.

  Professor fala:
  -- Indicamos duas retas perpendiculares _r e _s da seguinte maneira:

<F->
!::::::::.
l  r#'s  _
h::::::::j
<F+>

Atividades
  1. Pesquise em livros, jornais, revistas, letras de msicas etc. e escreva 
frases nas quais apaream uma das palavras: paralela, paralelo, paralelas, 
paralelos. Veja se h idias geomtricas envolvidas.

  2. Observe as linhas nas paredes de sua classe (rodap, quinas). 
Aponte retas paralelas e retas perpendiculares.

  3. Tente encontrar na sua classe duas linhas que lembram retas que no 
sejam nem paralelas nem secantes. Relacione-as no caderno.

  4. Pegue uma folha de papel e construa um ngulo reto por dobradura.

  5. Use o ngulo reto que voc construiu para identificar ngulos retos 
na sua classe.

  6. Trace no papel quadriculado retas perpendiculares e retas paralelas.

  7. Considere trs retas, _r, _s e _t, contidas num mesmo plano e diga 
quais entre as frases abaixo so verdadeiras:
  a) Se r_ls e s_lt, ento r_lt.
  b) Se r_ls e s_lt, ento r#'t.
  c) Se r#'s e s#'t, ento r#'t.
  d) Se r#'s e s#'t, ento r_lt.

<71>
<P>
A Geometria das embalagens

  Voc j observou como so as embalagens que encontramos no nosso 
cotidiano?

  Algumas so arredondadas...
 ... outras tm lados para todos os lados...
 ... podem ser {esquisitas}...
 ... ou comuns.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Foto: embalagens de   o
  diversas formas.         o
eieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  Algumas embalagens so obras da prpria natureza.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: pintinho, ovo,   o
  noz e amendoim.           o
eieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

<72>
<P>
Paraleleppedos

  No incio do sculo Xx, a maioria das ruas pavimentadas era coberta 
por blocos retangulares de granito. Essas pedras so chamadas de 
paraleleppedos.

  -- Por que esse nome, paraleleppedo?

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Foto: rua pavimentada   o
  com paraleleppedo.        o
eieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  A forma dessa pedra  a de um slido geomtrico que tem esse nome 
porque suas faces so paralelas duas a duas.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
  Foto: paraleleppedo.  o
eieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  Menina fala:
  -- Por que a maioria das caixas tem essa forma?
  -- Pela facilidade de armazenamento, pois ocupam melhor o espao.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: caixas em estantes   o
  de ferro.                     o
eieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  -- Este slido  um paraleleppedo...
  -- ... e esta caixa com _faces retangulares tem a forma desse 
paraleleppedo. Ele tambm  chamado de prisma retangular.

  Os {cantos} do paraleleppedo so chamados de _vrtices.
  E as {quinas} chamam-se _arestas.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*
  Figuras.  o
eieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<73>
  A caixa de creme dental lembra a superfcie de um paraleleppedo.

  -- Vamos desmont-la?

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: embalagem de   o
  creme dental.           o
eieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  Abrindo a caixa, obtemos uma _planificao.

  -- Aqui temos as aletas. Elas servem para encaixar as partes, na 
montagem da caixa.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: planificao da   o
  embalagem de creme dental.   o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>
<P>
<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Atividades
  8. Observe os objetos de seu cotidiano e faa uma lista daqueles que 
lembram a forma de paraleleppedo.

  9. Um paraleleppedo tem:
  a) quantas faces?
  b) quantos vrtices?
  c) quantas arestas?

  10.  possvel existir um paraleleppedo com todas as faces iguais? 
Qual seria a forma dessas faces?

<P>
Prismas

  Essas caixas tm a forma de _prismas.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: caixas com forma-  o
  tos prismticos.            o
eieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

<74>
  Observe a planificao de dois prismas, sem as aletas.

  -- As laterais destes prismas so retangulares e suas bases so 
pentagonais...
 ... ou hexagonais.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: planificao de um   o
  prisma pentagonal e um          o
  hexagonal.                      o
eieieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  Os paraleleppedos so casos particulares de prismas.
  -- Este tem bases e laterais retangulares.

  Menino fala:
  -- Veja este prisma de cristal que bonito! Sua base  triangular.
  Professor fala:
  -- Prismas como este de cristal permitem decompor a luz branca.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
  Foto: prisma de cristal.  o
eieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

Atividade
  11. Para cada um dos prismas a seguir, identifique o nmero de 
vrtices (V), o nmero de faces (F) e o nmero de arestas (A).
  a) base triangular
  b) base retangular
  c) base pentagonal
  d) base hexagonal
  e) base heptagonal
  f) base octogonal

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Obs.: todos os itens do     o
  exerccio 11 contm figuras.  o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<75>
Cubos

  Cubos so figuras geomtricas espaciais bastante conhecidas. Eles 
tambm so casos particulares de prismas cujas faces so quadrados.

  -- Observe que todas as faces deste slido lembram quadrados de 
mesmo tamanho.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
  Foto: cubo preto.  o
eieieieieieieieieieieiei
<F+>

Atividades
  12. Observe ou imagine um cubo e uma caixinha dessas que embalam 
tubos de creme dental e responda no seu caderno:
  a) Quantos vrtices tem o cubo? E a caixinha?
  b) Quantas faces tem o cubo? E a caixinha?
  c) Quantas arestas tem o cubo? E a caixinha?
  d) A que concluso se pode chegar observando um cubo e uma 
caixinha?

  13. Para representar um cubo, siga este roteiro:
  o Pegue uma folha de papel quadriculado.
  o Pontilhe a rede quadriculada de acordo com o esquema abaixo.
  o Ligue os vrtices como est indicado na seqncia desenhada:

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<76>
  14. O cubo tem 11 planificaes diferentes. Entre os desenhos a seguir, 
dois representam a planificao do cubo.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Idia: Se necessrio, recor-  _
l  te um modelo em papel para        _
l  verificar.                        _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  a) Quais so eles? Justifique.
  b) Explique por que os outros no so.

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  15. Descubra as outras 9 planificaes do cubo. Registre-as numa 
folha de papel quadriculado e pinte da mesma cor os quadrados que 
representam as faces opostas dos cubos.

  16. Indique quais frases abaixo so verdadeiras ou falsas:
  a) Os cubos so casos particulares de prismas.
  b) Todo prisma tambm  um paraleleppedo.
  c) Todo cubo tambm  um paraleleppedo.
  d) Os paraleleppedos so casos particulares de prismas.
  e) Paraleleppedo  um prima cuja base  um retngulo.
  f) os cubos e os paraleleppedos tm o mesmo nmero de vrtices, 
faces e arestas.

Pirmides

  Um outro grupo de formas geomtricas espaciais  representado pelas 
pirmides.
<P>
<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: Museu do Louvre,   o
  Paris.                       o
eieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

<77>
  As pirmides tm base poligonal e faces laterais triangulares.
  Veja as planificaes de algumas pirmides.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: planificao de pi-   o
  rmides de base triangular,      o
  base hexagonal e base quadrada.  o
eieieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

Atividades
  17. Para cada uma das pirmides a seguir, identifique o nmero de 
vrtices (V), o nmero de faces (F) e o nmero de arestas (A).
  a) base triangular
  b) base retangular
  c) base pentagonal
  d) base hexagonal
  e) base heptagonal
  f) base octogonal

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Obs.: todos os itens do   o
  exerccio contm figura.     o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  18. Construa uma pirmide de base quadrada como as pirmides 
egpcias.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: Pirmide de Qufrem,   o
  Egito.                           o
eieieieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>
<P>
<78>
Formas geomtricas que rolam

  Observe as caixas.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
  Foto: embalagens pequenas.  o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  Elas tm um formato diferente das que estudamos at aqui.
  Essa embalagem  formada por superfcies curvas.

  -- Ela rola!

  Essa  uma das propriedades dos objetos formados por superfcies 
curvas.
  A bola tem a forma de uma esfera.
  A lata de tinta tem a forma de um cilindro.
  O chapu de festa lembra um cone.

<P>
<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: crianas brincando   o
  de balano em pneus.            o
eieieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  Menina fala:
  -- E os pneus, lembram o qu?
  Menino fala:
  -- Esfera no, cilindro no e cone no. Mas eles rolam!

  Professor fala:
  -- Os pneus lembram uma forma geomtrica bem curiosa, que os 
matemticos chamam de _toro.

<79>
Atividades
  19. Liste objetos do seu cotidiano que lembram a esfera, o cilindro ou 
o cone.

  20. Por que algumas canetas so chamadas de caneta esferogrfica?
<P>
  21. Cone, cilindro ou esfera? O que nos lembra a forma dos objetos a 
seguir. Quando no for possvel nomear, explique.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figuras: moedas, bolinhas   o
  de ping-pong, iglu, balde      o
  com gua e lata redonda de     o
  goiabada.                      o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  22. Construa um cilindro de papelo.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Seqncia de trs figuras   o
  de explicao para construir   o
  um cilindro de papelo.        o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<80>
<P>
Retomando
  1. Recorte de revistas ou jornais fotos ou desenhos em que apaream 
figuras geomtricas espaciais: paraleleppedos, cubos, prismas, 
pirmides e polgonos.

  2. Como voc explicaria o que  Geometria para um colega que no a 
conhece?

  3. Investigue em dicionrios, enciclopdias, Internet, etc. o que  
Geometria.

  4. Pegue uma folha de papel quadriculado e desenhe dois cubos 
empilhados. Quantos vrtices, arestas e faces tem a figura resultante?

  5. Pegue uma caixinha de creme dental. Construa uma caixinha dessas 
com cartolina branca.
  a) Pinte de vermelho duas arestas que sejam perpendiculares.
  b) Pinte de azul duas arestas que sejam paralelas.
  c) Pinte de preto duas arestas que no sejam nem paralelas nem 
perpendiculares.

  6. Decalque a figura abaixo em uma folha transparente. Cole-a em uma 
cartolina, recorte-a e monte um cone.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: planificao de   o
  um cone.                     o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<81>
Revistinha
 Um cubo  sempre um cubo
 O cubo e a tira de papel

  Veja a seguir como montar um cubo a partir de uma tira de papel.
  Recorte uma tira de papel formada por 7 quadrados de 5 cm de lado.
  Monte-o como indica o esquema.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: esquema para mon-  o
  tar o cubo.                   o
eieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

A tesoura, a dobra e o cubo

  Este outro esquema mostra como obter um cubo cortando e dobrando 
um quadrado.
  Faa um quadrado de 15 cm de lado e recorte seguindo a linha 
tracejada.
<82>
  Monte-o seguindo a orientao:

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: planificao para   o
  montar o cubo.                 o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<P>
O cubo impossvel

  Preste ateno e siga os caminhos desse {cubo}.

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

::::::::::o::::::::::